Question

F1，F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右两个焦点,过F2做垂直于X轴的直线交双曲线于点P，若角 PF1F2=45度

F1，F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右两个焦点,过F2做垂直于X轴的直线交双曲线于点P，若角 PF1F2=45度 求双曲线渐进线方程

Answer 1

F1(-c,0)
F(c,0)
则直线是x=c
代入双曲线
c²/a²-y²/b²=1
y²/b²=c²/a²-1=(c²-a²)/a²=b²/a²
不妨令P在x轴上方
则y=b^2/a
P(c,b²/a)

角 PF1F2=45度
则这是等腰直角三角形
所以PF2=F1F2
PF2=b²/a
F1F2=2c
所以b²/a=2c
平方
b^4=4a²c²=4a²(a²+b²)
b^4-4a²b²-4a^4=0
b²=(4a²±√32a²)/2=(2±2√2)a²
负号舍去
b²/a²=2+2√2
b/a=√(2+2√2)
所以渐近线y=±√(2+2√2)x

Answer 2

不妨设P在X轴上方，
x=c,y=b2/a
P(c,b2/a)
角 PF1F2=45度
所以b2/a=2c
b^4=4a^2c^2=4a^2(a^2+b^2)
4a^4+4a^2b^2-b^4=0
b/a=√(2+2√2)
所以渐近线y=±√(2+2√2)x