Question

（2013?湖州二模）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2，E为PD上一点，P

（2013?湖州二模）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2，E为PD上一点，PE=2ED．（Ⅰ）（ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（ⅱ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，
（ⅰ）因为PA=AD=1，PD=

2

，
所以PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD．
又PA⊥CD，AD，CD相交于D，
所以PA⊥平面ABCD．
（ⅱ）当点F为PC的中点时，满足BF∥平面AEC．
证明如下：
因为F为PC的中点，过点F在面PCD内作CE的平行线FG，交PD于点G，
连结BG，设AC与BD相交于点O，则有BG∥OE，FG∥CE，
因为FG∩BG=G，且FG，BG不在平面AEC内，所以面FBG∥面AEC，
因为BF?面FBG，所以有BF∥平面AEC成立；
（Ⅱ）解：因为CD⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即为ED，
即∠CED为直线CE与面PAD所成的角，
因为ED=

2

3

，CD=1，所以tan∠CED=

3 2

2

，
所以sin∠CED=

1

1+( 2 3 )2

=

3 11

11

．
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为

3 11

11

．