Question

设函数f(x)=ax-(a+1)lnx,其中a≥ -1 ,求f(x)的单调区间。

我不是很聪明的人，请大家多多帮忙，谢谢！

Answer 1

首先x>0
f'(x)=a-(a+1)/x
令f'(x)=0得x=(a+1)/a 由x>0 a>=-1知
a>0时 能取到x=(a+1)/a满足f'(x)=0
当0<x<(a+1)/a时，恒有f'(x)<0，故在此区间函数递减
当x>(a+1)/a时，恒有f'(x)>0，故在此区间函数递增
-1<=a<0时 (a+1)/a<0 无x满足f'(x)=0，此时对任意的x，恒有f'(x)<0函数在定义域x>0上单调递减。 [因为a<0 a+1>0 x>0,则f'(x)=a-(a+1)/x<0]

Answer 2

定义域X>0,
a=0时，f(x)=-lnX,求导 f'(x)=-1/x<0,f(x)在定义域内递减
求导 f'(x)=a-(a+1)/x=0时 x=(a+1)/a=1+1/a,
a>0时，
x>1+1/a时，f'(x)>0，f(x)递增
0<x<1+1/a时，f'(x)<0, f(x)递减
-1≤a<0时,f'(X)=0时有x<0, 而X>0 故f'(x)<0 f(x)在定义域内递减

综合以上情况有
-1≤a≤0时，f(x)在定义域内即x∈(0，+∞)， 递减
a>0时
x∈(0，1+1/a]， f(x)递减
x∈(1+1/a，+∞)，f(x)递增