Question

已知函数f (x)=ax²-1/2x+c(a、c∈R)满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）>=0.

1.求a、c
2.是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

1. 由f(1)=0可得a+c=1/2，对一切x∈R，都有f（x）>=0，则a>0且1/4-4ac<=0，ac>=1/16 ①
故根据不等式1/2=a+c>=2√(ac)，即ac<=1/16 ②，联立①②得ac=1/16，且等号成立时a=c，因此可以求出a=c=1/4 。
2. g(x)=f(x)-mx=1/4 x^2-1/2 x+1/4-mx，对称轴为x=2m+1，若1+2m<=m即m<=-1，此时区间上最小值为g(m)=1/4m^2-1/2m+1/4-m^2=-5，求得m=-3，7/3，又m<=-1，所以m=-3；
若m<1+2m<m+2即-1<m<1，此时区间上最小值为g(1+2m)=1/4(1+2m)^2-1/2(1+2m)+1/4-m(1+2m)=-5，求得m=-1/2+√21/2，-1/2-√21/2，又-1<m<1，都舍弃；
若1+2m>=m+2即m>=1，此时区间上最小值为g(m+2)=1/4(m+2)^2-1/2(m+2)+1/4-m(m+2)=-5，求得m=-1+2√2，-1-2√2，有m>=1，所以m=-1+2√2；
综合得m=-3或-1+2√2

Answer 2

①f（1）=0；f(1)=a-1/2+c=0,a+c=1/2
②对一切x∈R，都有f（x）>=0.
a>0且判别式=1/4-4ac<=0
ac>=1/4
a+c=1/2,平方得：a^2+c^2+2ac=1/4
还有条件吗？