Question

选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度

选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为： ρ= 10 2 sin(θ- π 4 ) ，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ） x=2cosα y=2sinα+2. 且参数α∈[0，2π]， 所以点P的轨迹方程为x 2 +（y-2） 2 =4．（3分） （Ⅱ）因为 ρ= 10 2 sin(θ- π 4 ) ，所以 ρ 2 sin(θ- π 4 )=10 ， 所以ρsinθ-ρcosθ=10，所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．（6分） 法一：由（Ⅰ） 点P的轨迹方程为x 2 +（y-2） 2 =4，圆心为（0，2），半径为2. d= |1×0-1×2+10| 1 2 + 1 2 =4 2 ，所以点P到直线l距离的最大值 4 2 +2 ．（10分） 法二： d= |2cosα-2sinα-2+10| 1 2 + 1 2 = 2 | 2 cos(α+ π 4 )+4| ，当 α= 7π 4 ， d max =4 2 +2 ，即点P到直线l距离的最大值 4 2 +2 ．（10分）