Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2a-c）cosB=bcosC（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，求a+c的

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2a-c）cosB=bcosC（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）∵b=

3

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3×（

a+c

2

）²=

(a+c)2

4

，
∴3≥

(a+c)2

4

，
则a+c≤2

3

，当且仅当a=c=

3

时，a+c取得最大值为2

3

．