Question

设f(x)的定义域为D ，证明必存在D上的偶函数g(x)及奇函数h(x)使得，f(x)=g(x)+h(x). 求证

那为什么对称区间一定有这两个奇偶函数呢？怎么证明。

Answer 1

证明：这样的g(x)与h(x)可以构造出来
因为f(x)=g(x)+h(x)
那么f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)
所以g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，符合，命题得证。

Answer 2

在对称区间上的任何一个函数都可以看作一个奇函数与一个偶函数的和。其中奇函数为(f(x)-f(-x))/2,偶函数为（f(x)+f(-x)）/2。所以你把h(x),g(x)分别设成我上面给的两个函数，在证明它们的奇偶性就行了

Answer 3

题目完了吗