Question

已知抛物线

已知抛物线x2=4y,和圆x2+y2=32相交于A,B圆与y正方向交于点c,l是过ACB弧上的点与圆相切的直线，l与抛物线交于M,N，d是M,N两点到抛物线焦点的距离和求A,B,C的坐标；当d取最大是l的方程

Answer 1

由x^2=4y,和圆x^2+y^2=32得，y^2+4y-32=0,y=4(y>=0,y=-8舍去）

由x^2=4得x=2或x=-2

x^2+y^2=32圆心为（0，0），半径为4*根号2，

即A,B,C的坐标分别为(2,4),(-2,4),(0,4*根号2)

l是过ACB弧上的点与圆相切的直线,设l方程为xcosa+ysina=4*根号2(a为过切点的半径所在直线的倾斜角)，

由xcosa+ysina=4*根号2和x^2=4y消去x,得[(sina)^2]y^2-4{[(cosa)^2]+2(根号2)(sina)}y+32=0

设M,N纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2=4{[(cosa)^2]+2(根号2)(sina)}/[(sina)^2]=

4{[1-(s1na)^2]+2(根号2)(sina)}/[(sina)^2]=4{[1/(sina)^2]+2(根号2)/sina-1}

=4{[1/(sina)^2]+2(根号2)/sina+(根号2)^2-3}=4{[1/sina+(根号2)]^2-3}

直线OB,OA倾斜角分别最大，最小，1/根号5=<sina<=1,1=<1/sina<=根号5,

y1+y2=4{[1/sina+(根号2)]^2-3}<=4{[(根号5)+(根号2)]^2-3}=8(2+根号10),

d=y1+y2+2<=8(2+根号10)+2=18+8(根号10)

Answer 2

由x^2=4y,和圆x^2+y^2=32得，y^2+4y-32=0,y=4(y>=0,y=-8舍去）
由x^2=4得x=2或x=-2
x^2+y^2=32圆心为（0，0），半径为4*根号2，
即A,B,C的坐标分别为(2,4),(-2,4),(0,4*根号2)
l是过ACB弧上的点与圆相切的直线,设l方程为xcosa+ysina=4*根号2(a为过切点的半径所在直线的倾斜角)，
由xcosa+ysina=4*根号2和x^2=4y消去x,得[(sina)^2]y^2-4{[(cosa)^2]+2(根号2)(sina)}y+32=0
设M,N纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2=4{[(cosa)^2]+2(根号2)(sina)}/[(sina)^2]=
4{[1-(s1na)^2]+2(根号2)(sina)}/[(sina)^2]=4{[1/(sina)^2]+2(根号2)/sina-1}
=4{[1/(sina)^2]+2(根号2)/sina+(根号2)^2-3}=4{[1/sina+(根号2)]^2-3}
直线OB,OA倾斜角分别最大，最小，1/根号5=<sina<=1,1=<1/sina<=根号5,
y1+y2=4{[1/sina+(根号2)]^2-3}<=4{[(根号5)+(根号2)]^2-3}=8(2+根号10),
d=y1+y2+2<=8(2+根号10)+2=18+8(根号10)