Question

已知θ为锐角，用三角函数定义证明：1＜sinθ+cosθ≤√2

Answer 1

sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
∵0＜θ＜π/2
∴π/4＜θ+π/4＜3π/4
√2 /2＜sin(θ+π/4)≤1
∴1＜√2sin(θ+π/4)≤√2
即：1＜sinθ+cosθ≤√2

Answer 2

sinθ+cosθ=√2(sinθ√2/2+cosθ√2/2)
=√2(sinθcosπ/4+cosθsinπ/4)
=√2sin(θ+π/4)
因为 0<θ<π/2
所以 π/4<θ+π/4<3π/4
因为 π/2在这个区间内
所以√2sin(θ+π/4)<=√2
当θ+π/4=π/4
则√2sin(θ+π/4)>√2*√2/2=1
所以1＜sinθ+cosθ≤√2

Answer 3

sinθ+cosθ=√2sin(θ＋π/4)，由于θ为锐角，所以1＜2sin(θ＋π/4)≤√2，即1＜sinθ+cosθ≤√2 。