Question

一三角形ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点，连接DE，问DE与半圆O相切么？若不相

Answer 1

（1）证明：连结OD、OE。
∵圆O是以AB为直径的圆

∴O是AB中点
∵E为BC中点
∴OE是△ABC的中位线
∴OE//AC
∴∠EOB=∠DAB，∠ADO=∠DOE
又，OD=OA=r（圆O半径）
∴∠DAB=∠ADO
∴∠EOB=∠DOE
∴在△EBO和△EDO中：
OB=OD=r
∠EOB=∠DOE
OE=OE
∴△EBO≌△EDO（SAS）
∴∠EDO=∠EBO=90°
∴ED为圆O的切线

（2）解：

∵在Rt△ABC中，BD⊥AC

∴ Rt△ABD∽Rt△ABC

∴AB/AC=AD/AB

∴AC=AB²/AD

∵AC、AB的长是方程X²-10X+24=0的两个根

∴ 解方程X²-10X+24=0得：X1=4，X2=6

∵AD＜AB

∴AD=4，AB=6

∴ AC=9

在Rt△ABC中，AB=6，AC=9

∴BC=√ （AC²-AB²）=√ 81-36=3√ 5

∴BE=BC/2=3√ 5/2

∴OE=√ （OB²+BE²）=√（ 3²+45/4）=9/2

∴DE=√ （OE²-OD²）=√ （81/4-9）=3√ 5/2