Question

已知f（x）=log 3 （3+x）+log 3 （3-x）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，

已知f（x）=log 3 （3+x）+log 3 （3-x）．（1）求f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）写出函数f（x）的递增区间和递减区间．

Answer 1

（1））根据题意可得 3+x＞0 3-x＞0 ，解不等式可得-3＜x＜3 ∴定义域为（-3，3） f（x）=log 3 （3+x）+log 3 （3-x）=log 3 （-x 2 +9） 令t═-x 2 +9，则t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2] ∴值域为（-∞，2]． （2）∵定义域为（-3，3）关于原点对称 ∵f（-x）=log 3 （3-x）+log 3 （3+x）=f（x）， 所以函数f（x）为偶函数． （3）∵t=9-x 2 在（-3，0]上单调递增．在（0，3]上单调递减 ∵函数y=log 3 t在（0，+∞）单调递增 根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）