已知y=f(x)为R上的连续可导函数,当x≠0时,f(x)+f(x)x>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点的

已知y=f(x)为R上的连续可导函数,当x≠0时,f(x)+f(x)x>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点的个数为()A.1B.0C.2D.0或2... 已知y=f(x)为R上的连续可导函数,当x≠0时,f(x)+f(x)x>0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点的个数为(  )A.1B.0C.2D.0或2 展开
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为祭光6730
2014-08-31 · 超过63用户采纳过TA的回答
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由于函数g(x)=f(x)+
1
x
,可得x≠0,
因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,
故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.
由于当x≠0时,f(x)+
f(x)
x
>0,
①当x>0时,(x?g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x
)>0,
 所以,在(0,+∞)上,函数x?g(x)单调递增函数.
又∵
lim
x→0
[xf(x)+1]=1,
∴在(0,+∞)上,
函数 x?g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
因此,在(0,+∞)上,函数 x?g(x)=xf(x)+1 没有零点.
②当x<0时,由于(x?g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x
)<0,
②当x<0时,由于(x?g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x
)<0,
故函数 x?g(x)在(-∞,0)上是递减函数,函数 x?g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
故函数 x?g(x)在(-∞,0)上无零点.
综上可得,函g数(x)=f(x)+
1
x
在R上的零点个数为0,
故选:B
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