![](https://iknow-base.cdn.bcebos.com/lxb/notice.png)
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:(1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:(1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;(2)存在η∈(-1,1),使得f″(η)+f′(η)=...
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:(1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;(2)存在η∈(-1,1),使得f″(η)+f′(η)=1.
展开
3个回答
展开全部
证明如下:
1、由于f(x)为奇函数,则f(0)=0,由于f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,由拉格朗日定理,存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=f(1)−f(0) / 1−0 =1
2、由于f(x)为奇函数,则f'(x)为偶函数,由(1)可知存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1,且f'(-ξ)=1,
令φ(x)=f'(x)+f(x),由条件显然可知在φ(x)在[-1,1]上可导,由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(-1,1),使得φ(1)−φ(−1) / 1−(−1) =φ′(η)成立;
φ(1)-φ(-1)=f'(1)+f(1)-f'(-1)-f(-1)=2f(1)=2,从而φ'(η)=1成立,即f''(η)+f'(η)=1
扩展资料:
奇函数的特点:
1、奇函数图象关于原点(0,0)对称。
2、奇函数的定义域必须关于原点(0,0)对称,否则不能成为奇函数。
3、若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义,则f(0)=0。
4、设f(x)在定义域I上可导,若f(x)在I上为奇函数,则f(x)的导函数在I上为偶函数。
展开全部
证明:(1)由于f(x)为奇函数,则f(0)=0,由于f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,由拉格朗日定理,存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=
=1
(2)由于f(x)为奇函数,则f'(x)为偶函数,由(1)可知存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1,且f'(-ξ)=1,
令φ(x)=f'(x)+f(x),由条件显然可知在φ(x)在[-1,1]上可导,由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(-1,1),使得
=φ′(η)成立,φ(1)-φ(-1)=f'(1)+f(1)-f'(-1)-f(-1)=2f(1)=2,从而φ'(η)=1成立,即f''(η)+f'(η)=1
f(1)?f(0) |
1?0 |
(2)由于f(x)为奇函数,则f'(x)为偶函数,由(1)可知存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1,且f'(-ξ)=1,
令φ(x)=f'(x)+f(x),由条件显然可知在φ(x)在[-1,1]上可导,由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(-1,1),使得
φ(1)?φ(?1) |
1?(?1) |
本回答被网友采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询