Question

关于高中数学函数图像的一个问题

已知函数f(x)=asinx-bcosx（a、b为常数，a不等于0，x∈R），已知此函数的对称轴为x=π/4，请问为什么这个函数的对称轴和对称中心相距π/2个单位？我在图上画出来应该是相差π/4或者是3π/4个单位啊。请问这是为什么？是怎么判断的？谢谢！

Answer 1

f(x)=asinX-bcosX=（a^2+b^2）^½sin(X+C).
因为对称轴与对称中心距离为π/4，所以T/4为π/2，可知周期2π
又ω=2π/T，T=2π，ω=1。
因为f(x)不管a、b为什么数，X的系数ω为1
两边相等
所以这个函数的对称轴和对称中心相距π/2个单位

Answer 2

对称轴处取得最值
f(x)=[√(a^2+b^2)]sin(x-A),令tanA=b/a
最大值为√(a^2+b^2)
f(π/4)=(√2/2)(a-b)

所以｜(√2/2)(a-b)｜＝√(a^2+b^2)
解得：a+b=0
则a=-b
f(x)=a(sinx+cosx)=(√2)asin(x+π/4)
周期为T=2π，对称轴与对称中心的距离是T/4=π/2

Answer 3

f(x)=asinx-bcosx=√(a2+b2)sin(x-β) (tanβ=b/a)
对称轴x=kπ+π/2+β=π/4
β=kπ-π/4
x-β=kπ
x=2kπ-π/4
对称中心（2kπ-π/4，0）
当k=0时，对称中心（-π/4，0）对称轴为x=π/4
所以相差π/2个单位