Question

高一数学（数列）

1.已知数列{an｝是等差数列，Sn是其前n项和，求证：S5,S10-S5,S15-S10这三个数也成等差数列.
2.数列｛an｝的前n项和Sn=10n-n^2,又bn=｜an ｜，求｛bn｝的前n项和.

Answer 1

1.设首项为a，公差为d，则S5=5a+10d，S10=10a+45d，S15=15a+105d
所以S10-S5=5a+35d，S15-S10=5a+60d
因为S5+S15-S10=10a+70d，2（S10-S5）=10a+70d
所以S5+S15-S10=2（S10-S5）
所以这三个数成等差数列
2.由Sn=10n-n^2可知a1=S1=10-1=9，又知等差数列的和为2次无常数的函数，所以an一定是等差数列，所以可求得公差d=-2，所以an=-2n+11，当an《0时，n》6（n为整数）
所以当n《5时，bn的和Tn=Sn=10n-n^2
当n》6时，Tn=S5+｜a6+a7+…+an｜=25+(n-5)^2=n^2-10n+50
所以｛bn｝的前n项和Tn=｛10n-n^2，n《5
n^2-10n+50，n》6

Answer 2

1.证明：设{an}的首项为a，公差为d。
因为S5=5a+10d
S10-S5=5a+35d
S15-S10=5a+60d
所以(S15-S10)-(S10-S5)=(S10-S5)-S5
所以S5，S10-S5，S15-S10这三个数也成等差数列.
2.解：a1=S1=9,an=Sn-S(n-1)=11-2n(n为正整数).
所以当n<=5时an>0.
所以n<=5时| Sn |=10n-n^2
n>5时
| Sn |=a1+a2+...+a5-(a6+a7+...+an)
=2*(a1+a2+...+a5)-(a1+a2+...+an)
=2*25-(10n-n^2)
=50-10n+n^2