Question

已知函数f(x)=x/(1+x)，x∈[0,+∞），求证f(x)在[0,+∞）为增函数；利用函数单调性证明|a+b|/(1+|a+b|)...

已知函数f(x)=x/(1+x)，x∈[0,+∞），求证f(x)在[0,+∞）为增函数；利用函数单调性证明|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)

Answer 1

1) f(x)'=1/(x+1)^2>0 所以f(x)在[0,+∞）为增函数
2)因为 |a+b|≤|a|+|b|
令x1=|a+b| x2=|a|+|b|
则0<x1≤x2
由1)知
f(x1)≤f(x2)
so
|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)

Answer 2

解析：设0≤x1＜x2,则f（x1)-f(x2)=x1/(x1+1)-x2/(x2+1)=(x1-x2)/(x1+1)(x2+1),∵x1-x2＜,
（x1+1)(x2+1)＞0，∴f（x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),∴f(x)在[0,+∞）为增函数；又|a+b|≤|a|+|b|，
∴结论成立。限字了

Answer 3

证明：1.令x=n,n∈[0,+∞），f(n+1)-f(n)=(n+1)/(1+n+1)-n/(1+n)=1/[(n+1)*(n+2)]>0
所以f(n+1)>f(n),又n+1>n,所以f(x)是一个增函数。
2.因为|a+b|≤|a|+|b|，所以，领x1=|a+b|,x2=|a|+|b|,则f(x1)≤f(x2),得证。