Question

【高一数学】函数f(x)满足f(x)=-f(x+3/2)且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+....f(2009)=?

函数f(x)满足f(x)=-f(x+3/2)且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+....f(2009)=?

Answer 1

解：因为f(x)=-f(x+3/2)
所以f(x)=f(x+3)
所以f(x)是以3为周期的周期函数
又f(-2)=f(-1)=-1
即 f(1)=f(-2)=-1
f（2）=f（-1）=-1
f(0)=2
所以f(0)+f(1)+f(2)=-1+(-1)+2=0
又2009/3=669……2
所以f(1)+f(2)+....f(2009)=f(1)+f(2)=-2

Answer 2

-2
解题过程如下：
f(x)=-f(x+3/2)，又 f[(x+3/2)]=-f[(x+3/2)+3/2]=-f(x+3), 《将小括号内的看做X》
可得f(x)=f(x+3) ,所以f(x)是以3为周期的周期函数。
所以f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=......=-1
f(-1)=f(2)=f(5)=f(8)=......=-1
f(0)=f(3)=f(6)=f(9)=......=2
注意到f(1)+f(2)+f(3)=0, f(4)+f(5)+f(6)=0, f(7)+f(8)+f(9)=0......
应用数学归纳法可知,之后每三个相邻函数值相加都为0，因此可把如同f(1)+f(2)+f(3)，f(4)+f(5)+f(6)，f(7)+f(8)+f(9)看做一组。
又因为2009/3=669余2， 说明2009个函数值总共包含了669个上述的组，还余两个函数值f(2008)和f(2009), 由上面的规律可推出f(2008)=f(-2)=-1, f(2009)=f(-1)=-1,
所以f(1)+f(2)+....f(2009)=f(2008)+f(2009)=-2