Question

已知圆x^2+y^2+x-6y+3=0上有两点P、Q关于直线y=kx+4对称且OP垂直OQ（O为原点），求直线PQ的方程

Answer 1

^2表示平方,√表示根号
首先化曲线方程为：
(x+1/2)^2 + (y-3)^2 = (5/2)^2
这是一个圆

那么PQ在圆上，PQ关于直线对称，那么此直线就是线段PQ的垂直平分线，直线必过圆心（-1/2, 3)
圆心在直线上代入得 -k/2 - 3 + 4 = 0
k=2
直线为2x-y+4=0 (1)

由于POQ为直角三角形，又OP=OQ=5/2为半径，故为等腰直角三角形。
假设PQ的中点为M(x,y)
应该有|OM|=5*根号2 /4
|OM|^2=(x+1/2)^2 + (y-3)^2 = 25/8 (2)
联立：(1),(2)
求得M为（ -1/2 +(√10)/4 , 3+(√10)/2 )
或 (-1/2 - (√10)/4, 3-(√10)/2 )
PQ垂直于直线，故斜率为-1/2
PQ过M，
可以写出PQ的方程：
8y+4x-22-5√10 = 0
或8y+4x-22+5√10 = 0