Question

已知函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时， f(x)=ax+ 1 x 2

已知函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时， f(x)=ax+ 1 x 2 ．（1）求函数y=f（x）在（0，1]上的函数解析式；（2）当a＞-2时，判断函数y=f（x）在（0，1]上的单调性，并给出说明．

Answer 1

（1）任取x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-f（x）（3分） 则 f(x)=-f(-x)=ax- 1 x 2 ．                                   （6分） （2）函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数． 证明：任取x 1 ，x 2 ∈（0，1]，x 1 ＜x 2 f( x 2 )-f( x 1 )=a x 2 - 1 x 22 -a x 1 + 1 x 22 （2分） = ( x 2 - x 1 )(a+ 1 x 1 x 22 + 1 x 21 x 2 ) （4分） 由于由于x 1 ，x 2 ∈（0，1]，x 1 ＜x 2 ，所以x 2 -x 1 ＞0，（5分） 1 x 1 x 22 ＞1 ， 1 x 2 x 21 ＞1 ，当a＞-2时， a+ 1 x 1 x 22 + 1 x 21 x 2 ＞0 （7分） 所以所以f（x 2 ）＞f（x 1 ），即函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数．     （8分） （只有结论，没有过程给2分）