Question

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求最大值，要过程

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求最大值，要过程 图像的列表也请帮忙列一下

Answer 1

f(x)=2sinx(sinx
cosx)求导
f(x)‘=2sinx’(sinx
cosx)
2sinx(sinx
cosx)‘
=2sinx^2-2cosx^2-4sinxcosx
=-2cos2x-2sin2x
=-2√2sin（4x
π/4)
即最小正周期t=π/2
最大值为2√2
由于图像不好画出来请自己按如下点画
一个周期描点如下：
（-π/16，0），（π/16，-2√2），（3π/16，0），（5π/16，2√2），（7π/16，0），

Answer 2

2sinx(sinx+cosx)
=
1
-
Cos[x]^2
+
2
Cos[x]
Sin[x]
+
Sin[x]^2
二倍角公式：
Cos[2x]
=
Cos[x]^2-Sin[x]^2
Sin[2x]
=
2Cos[x]Sin[x]
于是
f(x)=
1
-
Cos[x]^2
+
2
Cos[x]
Sin[x]
+
Sin[x]^2
=1+Sin[2x]-Cos[2x]
=1-Sqrt[2]
Sin[Pi/4
-
2
x]
在x=Pi
*
3/8的时候，f[x]取最大值
1
+
√2

Answer 3

f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=sin2x-cos2x+1
=√2sin(2x-π/4)+1
当2x-π/4=2kπ+π/2,k∈Z
即
x=kπ+3π/8,k∈Z时，
f(x)取得最大值√2+1
五点法
画图列表：
x
π/8
3π/8
5π/8
7π/8
9π/8
2x-π/4
0
π/2
π
3π/2
2π
f(x)
1
√2+1
1
-√2+1
1