Question

已知x>0,y>0,x²-y²=1,求x根号1+y²-y根号1+x²

Answer 1

由x²-y²=1，得：
x²-1=y²，所以 y=√(x²-1) (y>0)
x√(1+y²)-y√(1+x²)
=x√x²-√(x²-1)√(1+x²)
=x²-√(x^4-1) (x>0)
=1/[x²+√(x^4-1)]。 （利用平方差公式，不是（x4-x4+1）/【x²+√（x4-1）】）

因为y>0，所以 y²>0， x²-1>0 ， x²>1，又 x>0，所以 x>1，
所以 x^4>1， x^4-1>0， √(x^4-1)]>0， x²+√(x^4-1)>1，
所以 0<1/[x²+√(x^4-1)]<1。
即0<x√(1+y²)-y√(1+x²)<1。
所以x√(1+y²)-y√(1+x²)的取值范围是：（0，1）。