Question

设函数f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值，求a,b

若对任意的X属于[0,3],都有f(x)<c^2成立求c的取值范围

Answer 1

解:
(1)f'(x)=6x^2+6ax+3b.
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,故有
{f'(1)=0,f'(2)=0}
--->{6+6a+3b=0,24+12a+3b=0}
--->a=-3,b=4

(2)由以上知,f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c,
f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)
当x属于[0,1)时,f'(x)>0
当x属于(1,2)时,f'(x)<0
当x属于(2,3]时,f'(x)>0
所以,x=1时,f(x)取极大值为f(1)=5+8c
又f(3)=9+8c,则当x属于[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c
因为对任意的x属于[0,3],有f(x)<c^2恒成立
所以9+8c<c^2
--->c<-1,或c>9
因此,c的取值范围为:
(-无穷,-1]U(9,+无穷).

Answer 2

求导得f'(x)=6x^2+6ax+3b
令f'(x)=0即6x^2+6ax+3b=0
由题上述方程解为x=1和x=2，带入得2+2a+b=0和8+4a+b=0，解得a=-3，b=4
所以f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c
由三次函数图象易知，当x属于[0,3]时，g(x)=2x^3-9x^2+12x在x=1或x=3处取得最大值
因为g(1)=5，g(3)=9，所以g(x)在[0,3]上的最大值为9
令9<c^2-8c即c^2-8c-9>0解得c<-或1c>9

望采纳，纯手工

Answer 3

A=-3 B=4

Answer 4

a=-3,b=4

Answer 5

a=-3,b=4