Question

已知f(x)对一切x满足xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)，若f'(x0)=0,x0≠0，则问f(x0)是不是极值点，如果是，

它是极大值还是极小值？

Answer 1

是极值点，因为二阶导数不为零
极小值，因为二阶导数大于零
相关定理随便一本高数书上关于高阶导数都有，或者从泰勒展开式直接推

Answer 2

xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) (1)
f'(x0)=0代入(1) =>
f''(x) = [1-e^(-x0)] / x0
如果x0>0, e^(-x0)<1 => [1-e^(-x0)] >0 => [1-e^(-x0)] / x0>0 => f''(x)>0
如果x0<0, e^(-x0)>1 => [1-e^(-x0)] <0 => [1-e^(-x0)] / x0>0 => f''(x)>0
=>f''(x)>0
f'(x0)=0, f''(x)>0 =>f(x0)是极小值