Question

求线性变换的核和值域

已知线性变换在一组基下的矩阵，求它的核和值域

Answer 1

核就是以矩阵为系数矩阵的齐次方程组的解集；值域就是先找出上述方程的解集的基；再找出包含这组基的线性空间的基；然后在线性空间的基里面去除解集的基,剩下的就是值域的基。

线性变换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。

在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

扩展资料：

矩阵相似与对角阵的条件是矩阵有和维数一样多的线性无关特征向量。我们最后指出，实对称矩阵必定可以对角化。

性质：

1、设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)；

2、线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

3、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

参考资料来源：百度百科——线性变换

Answer 2

核就是以矩阵为系数矩阵的齐次方程组的解集；值域就是先找出上述方程的解集的基；再找出包含这组基的线性空间的基；然后在线性空间的基里面去除解集的基,剩下的就是值域的基。
线性映射（linear map），是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性映射总是把线性子空间变为线性子空间，但是维数可能降低。而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。
　线性代数研究的一个对象，向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似σk：aka是V的线性变换，平移则不是V的线性变换，若a1，…，an是V的基，σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1，2，…，n），则称为σ关于基｛a：｝的矩阵。对线性变换的讨论可藉助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。
　　对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉＝〈a，σ（β）〉。

Answer 3