Question

若tan(A+B)=2tanA，求证3sinB=sin(2A+B)

Answer 1

要证3sinB=sin(2A+B)
即证3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
即证3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
即证2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
因为tan(A+B)=2tanA
所以得证。

Answer 2

tan(A+B)=2tanA
sin(A+B)*cosA=2sinA*cos(A+B) ①
sin(A+B)*cosA-sinA*cos(A+B)=sinA*cos(A+B)
sinB=sinA*cos(A+B)
sin(2A+B)=sin(A+B)*cosA+sinA*cos(A+B)=3sinA*cos(A+B)（因为①）
3sinB=sin(2A+B)

Answer 3

tan(A+B)-tanA=tanA
sinB/[cos(A+B)·cosA]=tanA 和差化积
sinB=sinA·cos(A+B)=[sin(A+A+B)+sin(A-A-B)]/2 积化和差
2sinB=sin(2A+B)+sin(-B)
3sinB=sin(2A+B)
得证

Answer 4

我觉得你可以画图来做，画一个三角形，然后里面把一个角分成A和B，然后就根据tan(A+B）是三角形哪条边比哪条边，这种思路试一下。因为我也5年没有接触数学了，所以tan那个公式不是太熟悉了。