Question

如图，B为线段AD上一点，三角形ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆

1.求证：BE是○O的切线
2.求证：AC²=CM×CF
3.过点D作DG‖BE交EF于点G，过G作GH‖DE交DF于点H，则易知△DHG是等边三角形；设等边△ABC，△BDC，△DHG的面积分别为S1，S2，S3，试探究S1，S2，S3，之间的数量关系，并说明理由。
补充上面的 △ABC○O交CF于点M

Answer 1

一连接OB易得∠OBC=30°∠CBE=60°故∠OBE=90°BE与⊙O相切
二连接BM
∠A=∠BMF=∠BCM+∠MBC=60°
∠ABC=∠BCM+∠BFC=60°
∴∠MBC=∠BFC 又∠BCM公共
∴⊿CBM∽⊿CFB ∴BC²=CM•CF 则AC²=CM•CF
三易得⊿EBC∽⊿GDE则BC／DE=BE／DG
又S1／S2=（BC／DE）²
S2／S3=（BE／DG）²
故S1／S2= S2／S3

Answer 2

证明要点：1．角CBE=60度，等于角CAB，可证直线BE与圆相切；2．连接AM，易证三角形AMC与FAC相似，根据相似比可得出结论；3．为等比关系，比值为线段AB与BD之比的平方。