Question

用反证法证明：若a，b，c，d属于实数，且ad-bc=1，则a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd不等于1

Answer 1

证明，

用反证法，假设a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd=1
则有a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd = ad-bc
移项得：
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd-ad+bc=0
两边乘以2，有：
2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ab+2cd-2ad+2bc=0
即
(a+b)^2 + (c+d)^2 + (a-d)^2 + (b+c)^2 = 0
所以一定有：
a+b = c+d = a-d = b+c = 0
解得
a = c = b = d = 0
因此ad-bc=0
与已知矛盾。
故原假设不成立，因此a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd不等于1.

希望有用。

Answer 2

若 a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd=1 那么a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd=ad-bc变形为
(a+b)^2+(b+c)^2+(c+d)^2+(a-d)^2=0 得 a+b=b+c=c+d=a-d=0 得 a=b=c=d=0 与ad-bc=1 矛盾！所以a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd不等于1