Question

已知函数f（x）=4lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个

已知函数f（x）=4lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）-f（x2）≥3-4ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2lnax+26x2，对于任意a∈（2，4）时，总存在x∈[32，2]，使g（x）＞k（4-a2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（I）当a=6时，f′（x）=

2(x2?3x+2)

x

，
令f′（x）＞0?0＜x＜1或x＞2，f′（x）＜0?1＜x＜2，
∴f（x）的递增区间为（0，1）和（2，+∞），递减区间为（1，2）．
（II）由于f（x）有两个极值点x₁，x₂，则2x²-ax+4=0有两个不等的实根，
由题意，得

△＞0 x1+x2＝ a 2 x1x2＝2

(0＜x1≤1)?

a≥6 a＝2(x1+x2) x2＝ 2 x1

∴f（x₁）-f（x₂）=8lnx₁-x₁²+

4

x12

-4ln2（0＜x≤1）
设F（x）=8lnx-x²+

4

x2

-4ln2（0＜x≤1）
F′（x）=

8

x

-2x-

8

x3

=-

2(x2?2)2

x3

＜0，∴F（x）在（0，1]上递减，
∴F（x）≥F（1）=3-4ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥3-4ln2．
（III）∵g（x）=2ln（ax+2）+x²