Question

设函数f（x）=3sinθ3x3+cosθ2x2+4x?1，其中θ∈[0，5π6]，则导数f′（-1）的取值范围是______

设函数f（x）=3sinθ3x3+cosθ2x2+4x?1，其中θ∈[0，5π6]，则导数f′（-1）的取值范围是______．

Answer 1

由f（x）=

3 sinθ

3

x3+

cosθ

2

x2+4x?1得，f'（x）=

3

sinθx²+cosθx+4，
则f′（-1）=

3

sinθ-cosθ+4=2sin(θ?

π

6

)+4，
∵θ∈[0，

5π

6

]，∴?

π

6

＜θ-

π

6

＜

2π

3

，∴?

1

2

＜sin(θ?

π

6

)≤1，
∴-1＜2sin(θ?

π

6

)≤2，即3＜2sin(θ?

π

6

)+4≤6，
故导数f′（-1）的取值范围是（3，6]．
故答案为：（3，6]．