Question

关于数列的一道题，急啊！！

已知正向数列an的前n项和为Sn,对任意n∈N*,点(an,Sn)都在函数f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x的图像上.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{x^n×an}(x∈R)的前n项和Tn；
（3）设bn=2/an ,数列{bn}的前n项和为Pn，求证，当n≥2时，Pn^2-2(P2/2 +P3/3 +…+Pn/n）＞1/4

急求各位的帮助啊。我数列学得很糟啊，大家帮帮我！！！

Answer 1

(1) 点(an,Sn)都在函数f(x)=(1/4)x^2+(1/2)x的图像上，所以S(n)=(1/4)a(n)^2+(1/2)a(n)，而a(n)=S(n)-S(n-1)=(1/4)a(n)^2+(1/2)a(n)-(1/4)a(n-1)^2-(1/2)a(n-1),最后推出（1/4)（a(n)+a(n-1)）(a(n)-a(n-1))=1/2(a(n)+a(n-1))而an是正向数列，所以a(n)+a(n-1)不等于0。所以等式两边可以同时除以a(n)+a(n-1)，最后得到a(n)-a(n-1)=2,可以知道an是等差数列，公差d为2，下面要求初项a1=S1=(1/4)a1^2+(1/2)a1,解的a1=0或者a1=2，但是an 是正向数列，所以a1=2,所以an=a1+（n-1)d,得到an=2n
(2) 数列{x^n×an}(x∈R)通项为x^n×2n，根据x取值分为两种情况
1、x=0时，Tn=0
2、x=1时，x^n×an=an=2n,所以Tn=n^2+n
2、x不等于0且不等于1时，x^n×2n是一个等比数列和等差数列的乘积，求这类数列前n项和Tn常见方法是，将Tn前乘以那个等比数列的公比x，
Tn=x^1×2+x^2×2x2+x^3×2x3+...+x^(n-1)×2(n-1)+x^n×2n
xTn= x^2×2 +x^3×2x2+x^4×2x3+...+x^n×2(n-1) +x^(n+1)×2n
两式想减（第一式的第二项减第二式的第一项直到第一式第n项减第二式第n-1项）得到
Tn-xTn=（1-x)Tn=x^1×2+x^2×2+x^3×2+...+x^n×2-x^(n+1)×2n=[2x(1-x^n)/(1-x)]-x^(n+1))×2n
最后得到Tn==[2x(1-x^n)/(1-x)^2]-x^(n+1))×2n/(1-x)
(3) bn=2/an =1/n,Pn=1+1/2+1/3+...+1/n. p(n+1)-P(n)=1/(n+1)
令Gn=Pn^2-2(P2/2 +P3/3 +…+Pn/n）(n≥2)下证Gn>1/4
G(n+1)=P(n+1)^2-2[P2/2 +P3/3 +…+Pn/n+P(n+1)/(n+1)]=[P(n)+1/(n+1)]^2-2[P2/2 +P3/3 +…+Pn/n+P(n+1)/(n+1)]=Pn^2-2(P2/2 +P3/3 +…+Pn/n)+2P(n)/(n+1)+[1/(n+1)]^2-2P(n+1)/(n+1)
=Gn+[1/(n+1)]^2-2[P(n)-P(n-1)]/(n+1)=Gn+1/(n+1)^2-2/(n+1)^2=Gn-1/(n+1)^2
得到G(n+1)=Gn-1/(n+1)^2 所以Gn=G(n-1)-1/n^2=G(n-2)-1/(n-1)^2-1/n^2=...=G2-1/3^2-1/4^2-...- 1/(n-1)^2-1/n^2 (n>2)
n=2时，第一项G2=P2^2-2(P2/2)=(1+1/2)^2-(1+1/2)=3/4>1/4
n>2时，Gn=G(n-1)-1/n^2=G(n-2)-1/(n-1)^2-1/n^2=...=G2-1/3^2-1/4^2-...- 1/(n-1)^2-1/n^2
=3/4-(1/3^2+1/4^2+...+1/(n-1)^2+1/n^2)>1/4+1/2-(1/2×3+1/3×4+...+1/(n-2)×(n-1)+1/(n-1)×(n))
=1/4+1/2-(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+....+1/(n-2)-1/(n-1)+1/(n-1)-1/n)=1/4+1/2-1/2+1/n
=1/4+1/n>1/4
所以n≥2时Gn=Pn^2-2(P2/2 +P3/3 +…+Pn/n)>1/4
哎呀！终于打完了，这个不能用数学编译器正是难受啊!这个答案不知楼主满意不？

Answer 2

a2+a5+a8=9,
3a5=9
a5=3

a3*a5*a7=-21
(a5-2d)a5(a5+2d)=-21
[(a5)^2-4d^2]a5=-21
[3^2-4d^2]*3=-21
3^2-4d^2=-7
4d^2=16
d^2=4
d=±2

当d=2时
a5=a1+4d
3=a1+4*2
a1=-5
an=a1+(n-1)d
=-5+2(n-1)
=2n-7

(1)当d=-2时
a5=a1+4d
3=a1+4*(-2)
a1=11
an=a1+(n-1)d
=11-2(n-1)
=13-2n
(2)（Ⅰ）整理递推式2bn+1=bn+1得bn+1+1=2（bn+1），进而推断出数列{bn+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）根据（1）可求得数列}{bn}的通项公式，进而求得an，代入cn= 求得数列{cn}的通项公式，利用裂项法求得数列的前n项的和，结果 进而根据Tn＞ 求得n的范围，确定n的最小值．解答：解：（Ⅰ）证明：由题意得2bn+1=bn+1，
∴bn+1+1=2bn+2=2（bn+1），
又∵a1=2b1+1，
∴b1=0，b1+1=1≠0，
所以数列{bn+1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（1）知，bn+1=2n-1，
∴an=2bn+1=2n-1，
故 ．
∴ = ．
由 ，且n∈N*，解得满足条件的最小的n值为10．

Answer 3

(1)s(n)=(1/4)an^2+(1/2)an s(n+1)=(1/4)a(n+1)^2+(1/2)a(n+1)
两式相减得a(n+1)=(1/4)a(n+1)^2-(1/4)an^2+(1/2)a(n+1)-(1/2)an
化简得a(n+1)-an=2 所以an是首项为2公差为2的等差数列an=2n

Answer 4

1、利用点在函数上将an与Sn代进去记作1式
再写出Sn-1的式子记作2式
用1-2式得出an于an-1之间的关系
利用平方差的关系将所有的能约的约掉
最后得出an-a(n-1)=2
（ps：别被题吓着，其实很简单的）
2、这是典型的错位相减法，因为x是实数，所以可以当成已知量
（等比乘以等差就用这个方法）
看一下课本推到等比数列的前n项和的过程
只不过课本中是常数列1（特殊的等差数列）乘以等比
3、利用放缩的方法
要注意自己动手，不要只想的看答案，当自己做出来是会很有成就感的
祝你把这道题成功解出！！

追问

嗯 ，我再翻哈书。

Answer 5

把题目拍个照传上来比较好，你这个符号有点儿不懂

Answer 6

我上个学期学过，可是已经忘的差不多了