Question

O坐标原点，向量OA=(1,4),OB=(5,10),OC=(2,k),若点A,B,C能成以AB为底的等腰三角形，求∠ACB的余弦值

Answer 1

(1) A,B,C不在同一直线上
所以：向量AB不能与向量AC平行或成180度角
所以: 对于任意实数k,向量AB-k*向量AC≠0
而：向量AB=向量OA-向量OB=(-1,4)
向量AC=向量OA-向量OC=(2-x,2)
显然,当k≠2时,向量AB-k*向量AC≠0恒成立
而当k=2时,向量AB-k*向量AC=(2x-5,0)
所以:2x-5≠0
x≠5/2

(2) 当x=6时，向量OC=(6,3)=3(2,1)
所以：向量OM=k(2,1)=(2k,k)
向量MA=向量OM-向量OA=(2k-2,k-5)
向量MB=向量OM-向量OB=(2k-3,k-1)
而：向量MA*向量MB=0
所以：(2k-2)(2k-3)+(k-5)(k-1)=0
5k^2-16k+11=0
k=11/5,或k=1
所以:M的坐标为(22/5,11/5),或(2,1)

Answer 2

自己画图解决嘛。。。。是高考题嘛？

追问

就是不会才问的，

追答

无能为力，我这连个笔都没有。。。。

Answer 3

因为AC=AB 所以 1+（k-4）^2=3^2+(10-k)^ 所以K=23/3 所以cos<ACB=-5/13

Answer 4

向量AB=(4,6),则|向量AB|=√（4^2+6^2)=√52;
向量BC=(-3,k-10),|向量BC|=√（-3)^2+(k-10)^2=√（k^2-20k+109)
向量AC=(1,K-4),|向量AC|=√（1+(k-4）^2=√(k^2-8k+17).

根据题意有|BC|=|AC|,可得到：k=23/3,
后面余弦值就利用余弦定理就可以求出来了。