Question

如图,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC.

试探究PG与PC的位置关系。注意，是位置关系，垂直啊平行啊之类的。
这题的图百度上很多题都有。

Answer 1

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及 PGPC的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及 PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； PGPC=1；

（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； PGPC= 3．
证明：如图1，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合-）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴ PGPC= 3；

（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图2，延长GP到H，使PH=PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴ PGPC= 3．

Answer 2

延长GP交DC于H，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
又∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴DC∥AE∥GF，
∴∠CDP=∠GFP，
又∵∠DPH=∠FPG，
∴△DPH≌△FPG，
∴PH=GP，
……………………
我帮你解决CH=CG
因为 全等，
所以 DH=GF
因为 正方形，
所以 DC=BC
GF=BG=DH
所以 DC-DH=BC-BG
所以 CH=CG
等腰三角形就出来了……
下面步骤其余人的解答应该看得懂的，就是用三线合一^-^望采纳~~~~

Answer 3

请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形BEFG是矩形；
（2）PG与PC的夹角为90度时，四边形BEFG是正方形．
分析：（1）由正方形ABCD，易得∠EBG=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形；
（2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP=GP，当∠CPG=90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG=GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱BEFG是菱形，而∠EBG=90°，即得四边形BEFG是正方形．
解答：解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，（1分）
∴∠EBG=90°，（2分）
∴▱BEFG是矩形（3分）

（2）90°；（4分）
理由：延长GP交DC于点H，
∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，（5分）
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴HP=GP，（6分）
当∠CPG=90°时，∠CPH=CPG，
∵CP=CP，
∴△CPH≌△CPG，
∴CH=CG，（7分）
∵正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，（8分）
∵△DHP≌△FGP，
∴DH=GF，
∴BG=GF，
∴▱BEFG是菱形，（9分）
由（1）知四边形BEFG是矩形，
∴四边形BEFG是正方形．（10分）

Answer 4

解：
（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，
∴△DPH≌△FGP，
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°= 3，
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC， PGPC= 3；

Answer 5

垂直、
延长GP交DC于点H。
由题意得 HC=CG=2 ∴∠HGC=45°
后证△DPH≌△FGP （ASA）
∴HP=GH
∴在Rt△HCG中，CP是斜边HG的中线
∴∠PCG=45°
∴∠CPG=90°即CP⊥PG

Answer 6

垂直
延长GP交CD于H
可证△DPH≌ △FPG
∴DH=FG，PH=PG
∴CH=CG
∴ △CHG为等腰三角形
∴CP⊥FG（三线合一）
这题主要抓住中点怎么用，一般考虑中位线、中线（面积法）、全等、旋转等

追问

为什么DH=FG，PH=PG
就可以得到CH=CG 呢？