Question

一个反比例函数的图像经过点A（1,3），O是原点

作直线OA交反比例函数图像于点A’，在反比例函数图像上是否存在点P（记横坐标为m）使得△APA'面积为2m？若存在，求P的坐标，若不存在，请说明理由
要详细，网上的那些我看不懂，求高人，谢谢啦~~~

Answer 1

反函数通式y=k/x，代入A(1,3)可得k=3。
过原点直线OA解析式y=3x，交反比列函数与2点，一点是A，另一点A'的坐标就是（-1，-3）。
P点坐标为(m,3/m)，那么过P点垂直于OA的直线L是y-3/m=-(1/3)(x-m)。联立OA解析式，解得L与OA交点Q是((9+m^2)/10m,3(9+m^2)/10m),可求得PQ的长度是3|m-1/m|/(10^0.5），AA'的长度是2(10^0.5)。由此△APA'的面积=AA'*PQ/2=3|m-1/m|。
题中要求△APA'面积为2m，那么
3|m-1/m|=2m。
如果m-1/m>0,可解得m=3^0.5，（另一个根-3^0.5不满足m-1/m>0的条件）
如果m-1/m<0，可解得m=(3/5)^0.5,（另一个根-(3/5)^0.5不满足m-1/m<0的条件）

追问

能不能答得详细、简单点，我看不懂“那么过P点垂直于OA的直线L是y-3/m=-(1/3)(x-m)。”

追答

OA的斜率是3，那么与OA垂直的直线的斜率就是-1/3。
而斜率为k，经过点(x0,y0)的直线解析式是y-y0=k(x-x0)。
所以过P点垂直于OA的直线L是y-3/m=-(1/3)(x-m)
PQ的长度=(((9+m^2)/10m-m)^2+(3(9+m^2)/10m-3/m)^2)^0.5=3|m-1/m|/(10^0.5)

追问

"=3|m-1/m|/(10^0.5)"-- 为什么要加绝对值

追答

因为PQ2点间距离是正数，所以必须加绝对值保证是正数。

Answer 2

由题意设反比例函数：y=k/x,将A（1，3）带入，得k=3,直线AA'方程 y=3x,设P（m,3/m),AA'长度为2(10^0.5)，P到AA'距离，由公式得，3|m-1/m|=2m。如果m-1/m>0,可解得m=3^0.5如果m-1/m<0，可解得m=(3/5)^0.5

追问

"P到AA'距离，由公式得，3|m-1/m|=2m" 什么意思