Question

关于圆的难题

如图：AB、CD是⊙O的两条直径，∠AOC＝60°，P为胡BC上任意一点，PA、PD分别交CD、AB于F、E，若⊙O半径为R，经过论证，我们发现：无论P在上什么位置，AF·AP＋DE·DP的值均为一个固定的值．
（1）请你猜测一下这个定值，并说明你的猜测方法；
（2）证明你猜测的结论．

Answer 1

(1)

AF·AP＋DE·DP=3R²

当点P与点C重合时，点F与点C重合，点E与点P重合

则AF=R，AP=R，DE=R，DP=2R

所以AF·AP＋DE·DP=3R²

（2）

证明：

连接AC

∵∠AOC=60°

则△AOC是等边三角形

∴AC=R=DO，∠C=∠DOE=60°

∵∠CAF=∠D

∴△ACF≌△DOE

∴CF=OE

∵∠P=∠C=∠DOE，∠D=∠D

∴△DOE∽△DPF

∴DE*DP=DO*DF

同理可得AF*AP=AO*AE

∴AF·AP＋DE·DP

=DO*DF+AO*AE

=R(R+OF)+R(R+OE)

=R(2R+OF+OE)

=R(2R+OF+CF)

=R*3R

=3R²