Question

如何用定义证明函数可微

Answer 1

y = f(x),在x点可微，只要证明下面的极限
lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx = f'(x)
存在。比如： y = x^2 在任意x上均可微，
因为 lim(Δx→0) [(x+Δx)^2 - x^2)] / Δx
= lim(Δx→0) [(x^2+2xΔx+(Δx)^2- x^2)] / Δx
=lim(Δx→0) [2xΔx+(Δx)^2)] / Δx
=lim(Δx→0) [2x+Δx] = 2x
众所周知，x^2的微商处处存在，并等于2x。

Answer 2

对于一元函数来说呢，楼上基本上为正解，但是楼上有一点不明确的是 证明在x处极限存在是要证明的，而不是直接运用极限的存在去求微分。逻辑上有点不通。
对于二元以及多元的函数来说，一般不说函数可微吧（我是大二，非数学专业），都说可导，因为对于二元以及多元来说，每个元都可微才可导。
不懂可以HI我