Question

已知t是实数,若a,b是关于x的一元二次方程x^2-2x+t-1=0的两个非负实数根,则（a^2-1)(b^2-1）的最大值是？

Answer 1

解：由题意知二次函数f(x)=x²-2x+t-1的对称轴为x＝1，则
由a,b是关于x的一元二次方程x^2-2x+t-1=0的两个非负实数根，可得
Δ＝4－4(t-1)≥0,f(0)=t-1≥0
解得2≥t≥1
又由韦达定理得a+b=2,ab=t-1
a²+b²=(a+b)²-2ab=4-2(t-1)=-2t+6
所以(a²-1)(b²-1)
=a²b²-(a²+b²)+1
=(t-1)²+2t-6+1
=t²-4
因为2≥t≥1，所以
当t＝2时，t²-4有最大值0
即(a²-1)(b²-1)的最大值是0