Question

怎样求曲线围成的面积

最简单的例子，比如说函数f(x)=x^2，做一条垂直于x轴的直线，两者和x轴围成的面积要怎么通过积分算出来。我对于微积分知道的不多，所以麻烦说的详细点。还有微积分是互逆的运算麻烦介绍下一下。谢了

Answer 1

【我是自己学了一点微积分的皮毛，也不知道能不能帮你讲清楚】

个人理解：对函数求导就是微分，或者说要求某可导函数的某处斜率时要用微分
而求两函数围成的面积要用积分，积分符号∫
微分与积分是互逆计算，已知原函数，求导函数叫微分；已知导函数，求原函数叫积分
比如 已知函数y=x²，对其微分就是y’=2x，求其积分就是y=(1/3)x³

【曲线 y=x^n对其求导（即求其微分）
y’=n•x^(n-1)
若有点Q（a，a^n）
把x=a代入y’=n•x^(n-1)
得到 y’=n•a^(n-1)即为曲线在点Q处切线斜率
那么很显然，对其求积分，则为
y=[1/(n+1)]•x^(n+1)】

两曲线f(x),g(x)之间在a≤x≤b区间上所围成的面积
S=∫[a,b]{|f(x)-g(x)|}dx
（[a，b]表示区间，{}内表示要积分的函数，dx应该表示定积分
注意：定义式中|f(x)-g(x)|带绝对值的，现实计算可根据几何意义去掉绝对值

回到你举的例
x轴实际上是直线x=0
所以f(x)=x²，g(x)=0，
S=∫[a,b]{x²-0|}dx【很显然，在[a，b]间f(x)在g(x)的上方，所以在区间[a,b]中f(x)-g(x)＞0】
=∫[a,b]{x²}dx
=(1/3)x³ [a,b]
=(1/3)b³-(1/3)a³

【牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。（我的个人理解是：S=∫[a,b]{x²-0|}dx是一个定积分式，求他的方法是 对其积分求出原函数，再把上限和下限代入作差）
而定积分就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积】

【由于x轴实际上是直线x=0，所以若直接对f(x)积分，求的就是在区间[a,b]中f(x)与x轴围成的面积】

【由于我也只是学了一点微积分的皮毛，你如果再追问，我肯定答不上来，所以我想向你推荐我们团中的几个高手
字文仙：
http://passport.baidu.com/?business&aid=7&default_tab=2&un=%D3%EE%CE%C4%CF%C9#2
幽灵mononoke：
http://passport.baidu.com/?business&aid=7&default_tab=2&un=%D3%C4%C1%E9mononoke#2
你可以向他们提问，也可以在Hi上问他们（当然最好是提一个新的问题让他们回答一下）
最后别忘记说是我推荐你去问他们的哦O(∩_∩)O~~】

【希望对你有帮助】

Answer 2

x^2与x轴围成的面积：从直线x=1积到直线x=2的值为(x^2-x^1)/3

追问

能说下具体步骤吗？谢了

Answer 3

先把这个函数的一个原函数求出来（若函数f1（x）求导之后的表达式为另一函数f2(x)，则f1(x)为f2(x)的原函数）。再把积分端点代入原函数，求出二者之差，绝对值即所围面积。微分即求导，积分即求原函数。