Question

如图，分别以△ABC的AB,AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE,M是BC的中点，试猜想MD和ME有

何关系

Answer 1

MD=ME
分别取AB, AC的中点F,G。
分三种情况讨论。
当MD,不过F，ME不过G时，连接D,F；连接E,G，连接F,M；连接G,M.
因为△ABD与△ACE是直角三角形，所以D,E分别在以AB为直径的圆与以AC为直径的圆上。
所以FD=FA, GA=GE.
又FM, GM为中位线，所以FA=GM. GA=FM.
所以、FD=GM. GE=FM.
因为△AFD,△AGE为等腰三角形，且∠DAB=∠EAC，所以∠DFA=∠AGE
因为四边形AFMG为平行四边形，所以∠AFM=∠AGM.
所以△DFM≌△MGE.所以MD=ME.
2.当MD,ME过F,G时，DF=DA=GM. FM=GA=GE.
MD=DF+FM ME=GM+GE,所以MD=ME。
3.当MD,ME中只有一个过对应的中点。
下面说明这是不可能的。
假设上述情况可能，不妨设MD过F，而ME不过G。
显然由1中的部分证明知道∠DAF=∠AGE, ∠DFB=∠AFM=∠AGM.
于是180°=∠BFD+∠DFA=∠MGA+∠MGE≠180°显然矛盾。
所以第三种情况不存在。
所以MD=ME。证毕。

Answer 2

相等。
证明要点:取AB、AC中点FG,用SAS证明MFD全等于EGM。从而得出MD=EM.
利用到的定理：平行线成比例线段、RT三角形斜边上中线等于斜边一半。等腰三角形顶角外角等于底角2倍，平行四边形对角相等。