Question

证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数 .当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时，求实数m的取值

写明解题过程

Answer 1

f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
设x1<x2<=1
f(x2)-f(x1)=(x1-1)^2-(x2-1)^2
=(x1-1+x2-1)(x1-1-x2+1)
=(x1+x2-2)(x1-x2)
x1<x2<=1 ==>x1+x2-2<0,x1-x2<0
f(x2)-f(x1)=(x1+x2-2)(x1-x2)>0
命题得证

f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
a＜0，函数开口向下，顶点为x=-2/（-1*2）=1,y=4,顶点左边为增函数，右边为减函数
m等于顶点的X座标，1。因此m=1

追问

f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4是错误的吧，应是=-(x-1)^2+2
后面f(x2)-f(x1)=(x1-1)^2-(x2-1)^2
=(x1-1+x2-1)(x1-1-x2+1)
=(x1+x2-2)(x1-x2)与我的不同，我是=【-(x2+x1）+2】(x1-x2)你再算算，可能我错了
如果对，后面的，我就不知怎么做了，函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]，我认为有两种，如果x1，x2都大于0，x1-x2小于0，所以我有些犹豫，你再看看，希望你可以回

追答

-(x-1)^2+4＝-(x^2+1-2x)+4=-x^2+2x-1+4=-x^2+2x+3
我是=【-(x2+x1）+2】(x1-x2) 写出个过程来

追问

平方不会打第一个是下表2，第二个平方fx1-fx2=-x12+2x1+3-（-x22+2x2+3）=-x12+2x1+3+x22-2x2-3=x22-x12+2（x1-x2）=（x2+x1）（x2-x1）+2（x1-x2）=-（x2+x1）（x1-x2）+2（x1-x2)=(X1-X2)【-(x2+x1）+2】唉，打的真累

追答

你的也没错，我的是f(x2)-f(x1),你的是F(x1)-f(x2)。我们的符号当然相反啦

＾符号表示多少次方，在数字6的上面

Answer 2

f(X)=-(X-1)^2+2
任取X1，X2属于（负无穷，1]，且X1>X2
f(X1)-f(X2)=-（X1-1）^2+2+(X2-1)^2-2
=-(X1-1)^2+(X2-1)^2
=[(X1-1)+(X2-1)][-(X1-1)+(X2-1)]
=(X1+X2-2)(X2-X1)
因为X2>X1>1，所以X1+X2-2<0，X2-X1<0，
所以f(X1)-f(X2)>0
所以f（x）在（负无穷，1]上是增函数。
因为X在（负无穷，m]上也是增函数，所以(负无穷，m]是区间（负无穷，1]的子集。所以m小于等于1.

Answer 3

证明：函数的对称轴为x=1，又因为开口向下，所以增区间为（负无穷，1]
因为增区间为（负无穷，1]，且函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数，所以m<=1

Answer 4

(1)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，则有

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)

=(x22-x12)+2(x1-x2)

=(x1-x2)(2-x1-x2).

∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，

∴x1-x2＜0,x1+x2＜2.

∴2-x1-x2＞0.

∴f(x1)-f(x2)＜0.

∴f(x1)＜f(x2).

∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.

(2)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.

Answer 5

m 的取值是负无穷到一