Question

ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设

ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．
（1）试说明四边形AECG是平行四边形；
（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形?

Answer 1

1）由题意，得∠GAH=1/2∠DAC, ∠ECF=1/2∠BCA
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴∠GAH=∠ECF
∴AG∥CE
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形
（2）∵四边形AECG是菱形
∴F、H重合
∴AC＝2BC
在Rt△ABC中,设BC＝x,则AC＝2x
在Rt△ABC中AC²=AB²+BC²
即（2x）²=3²+x²
解得x＝根号3，即线段BC的长为根号3 cm.

Answer 2

折线相当于角分线，AC与CE和AG的夹角相等，可证明为平行四边形；
设AE=x，BC=y
角分线定理有（3^2+y^2）=x^2*y^2/(3-x)^2
菱形边长相等x^2=y^2+(3-x)^2,所以y^2=6x-9，代入上式，得：x=2,所以y=根号3