Question

已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-2=0对称；（1）求圆C2的方程，（2）过点（2，0）

已知圆C1：（x+1）2+（y-1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-2=0对称；（1）求圆C2的方程，（2）过点（2，0）作圆C2的切线l，求直线l的方程．

Answer 1

（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），此点关于直线x-y-2=0的对称点为N（m，n）
则

y-n x-m =-1 1 2 (x+m)- 1 2 (y+n)-2=0

，解得

m=y+2 n=x-2

，
∵点N（m，n）即N（y+2，x-2）在圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，
∴（y+2+1）²+（x-2-1）²=1，
化简得（x-3）²+（y+3）²=1，即为圆C₂的方程；
（2）设经过点（2，0）圆C₂的切线l方程为y=k（x-2），
∵圆C₂的方程为（x-3）²+（y+3）²=1，
∴圆心为C₂（3，-3），半径r=1．
∵直线l与圆C₂相切，
∴点C₂到直线l的距离等于半径，即

|3k+3-2k|

k2+1

=1，
解之得k=-

4

3

，得切线l方程为y=-

4

3

（x-2），化简得4x+3y-8=0；
当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，也满足直线l与圆C₂相切．
综上所述，可得点（2，0）的圆C₂的切线l方程为x=2或4x+3y-8=0．