已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an?an+1,求{bn}...
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an?an+1,求{bn}的前n项和Tn;(3)在(2)的条件下,对任意n∈N*,Tn>m23都成立,求整数m的最大值.
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(1)∵4Sn=(an+1)2,①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),②
①-②得
4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2.
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2.
化简得(an+an-1)?(an-an-1-2)=0.
∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2).
∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=1+(n-1)?2=2n-1.
(2)bn=
=
=
(
-
).
∴Tn=
[(1-
)+(
?
)+…+(
-
)]
=
(1-
)=
.
(3)由(2)知Tn=
(1-
),
Tn+1-Tn=
(1-
)-
(1-
)
=
(
-
)>0.
∴数列{Tn}是递增数列.
∴[Tn]min=T1=
.
∴
<
,
∴m<
.
∴整数m的最大值是7.
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),②
①-②得
4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2.
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2.
化简得(an+an-1)?(an-an-1-2)=0.
∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2).
∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=1+(n-1)?2=2n-1.
(2)bn=
1 |
an?an+1 |
1 |
(2n?1)(2n+1) |
1 |
2 |
1 |
2n?1 |
1 |
2n+1 |
∴Tn=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
2n?1 |
1 |
2n+1 |
=
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
n |
2n+1 |
(3)由(2)知Tn=
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
Tn+1-Tn=
1 |
2 |
1 |
2n+3 |
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
=
1 |
2 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+3 |
∴数列{Tn}是递增数列.
∴[Tn]min=T1=
1 |
3 |
∴
m |
23 |
1 |
3 |
∴m<
23 |
3 |
∴整数m的最大值是7.
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