Question

如图，直线 y= k 3 x-k 分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆心在坐标原点，半径为1的

如图，直线 y= k 3 x-k 分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且AB=5，一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t≥0）（秒）．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切；（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向 以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

Answer 1

（1）由 k 3 x-k=0，k≠0，得x=3， ∴B点坐标为（3，0）， ∵AB=5， ∴A点坐标为（0，4）， ∴直线AB的解析式为y=- 4 3 x+4； （2）设t秒时圆与AB相切，此时圆心为C 1 或C 2 ，切点为D 1 ，D 2 ，如图所示，连接C 1 D 1 ，C 2 D 2 ， 由△AC 1 D 1 ∽ △ABO，得 A C 1 AB = C 1 D 1 OB ， 即： 4-0.8t 5 = 1 3 ， ∴ t= 35 12 ， 同理由△AC 2 D 2 ∽ △ABO， 可求得 t= 85 12 ， ∴当 t= 35 12 秒或 85 12 秒时，圆与直线AB相切； （3）如图2，①当t=0时，s=3， ②当0＜t＜5时，设t秒时动圆圆心为C，连接PC． OC BP = 0.8t t = 4 5 = AO AB ， ∴PC ∥ OB， ∴ PC OB = AC AO ，即 s 3 = 4-0.8t 4 ， ∴ s=- 3 5 t+3 ， ③当t=5时，s=0， ④当t＞5时，设动圆圆心为C 1 ，动点P在P 1 处，连接C 1 P 1 ． 由②同理可知P 1 C 1 ∥ OB． ∴ s 3 = 0.8t-4 4 ，即 s= 3 5 t-3 ， 又当t=0或5时，②中s=3或0， 所以综上所述： 当0≤t≤5时，s=- 3 5 t+3 ； 当t＞5时，s= 3 5 t-3 ； （4）当动点P与圆面刚接触时，或刚离开时，s=1， 当s=1时，由 s=- 3 5 t+3 ，代入得 t= 10 3 ； 由s= 3 5 t-3 ，代入得t= 20 3 ． 20 3 - 10 3 = 10 3 （秒）， ∴动点P自刚接触圆面起，经 10 3 秒后离开了圆面．