Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）， （1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+

已知函数f（x）=ax 2 +bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）， （1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn＜0，m+n>0，a>0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？

Answer 1

解：（1）因为f（-1）=0， 所以a-b+1=0 因为f（x）的值域为[0，+∞）， 所以 所以b 2 -4（b-1）=0 解得b=2，a=1 所以f（x）=（x+1） 2 所以 。 （2）因为g（x）=f（x）-kx=x 2 +2x+1-kx=x 2 +（2-k）x+1 = 所以当 或 时g（x）单调， 即k的取值范围是（-∞，-2]或[6，+∞）时，g（x）是单调函数。 （3）因为f（x）为偶函数， 所以f（x）=ax 2 +1 所以 因为mn＜0，依条件设m>0，则n＜0 又m+n>0 所以m>-n>0 所以|m|>|-n| 此时F（m）+F（n）=am 2 +1-an 2 -1=a（m 2 -n 2 ）>0， 即F（m）+F（n）>0。

Answer 2

解：（1）因为f（-1）=0，
所以a-b+1=0
因为f（x）的值域为[0，+∞），
所以

所以b 2 -4（b-1）=0
解得b=2，a=1
所以f（x）=（x+1） 2
所以

。
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x 2 +2x+1-kx=x 2 +（2-k）x+1
所以g（x）单调，
即k的取值范围是（-∞，-2]或[6，+∞）时，g（x）是单调函数。
（3）因为f（x）为偶函数，
所以f（x）=ax 2 +1
因为mn＜0，依条件设m>0，则n＜0
又m+n>0
所以m>-n>0
所以|m|>|-n|
此时F（m）+F（n）=am 2 +1-an 2 -1=a（m 2 -n 2 ）>0，
即F（m）+F（n）>0。