Question

设函数f(x)=a/3x3-3/2x2+(a+1)x+1,其中a为实数。 （1）已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

（2）已知不等式f ' (x)>x2-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围。

Answer 1

由已知得f′(x)=ax²-3x+a+1
(1)f′(1)=a-3+a+1=0 ,所以a=1
(2)f′(x)=ax²-3x+a+1>x²-x-a+1 ,分离变量得a>(x²+2x)/(x²+2)
由于对于任意a∈(0，+∞)都成立,所以
(x²+2x)/(x²+2)≤0,
即(x²+2x)=x(x+2)≤0 ,
解得-2≤x≤0