Question

对任意X属于R，不等式【（x^2+1）cosθ -x(cosθ -5)+3】/(x^2-x+1)>sinθ -1恒成立，求θ 的取值范围。

Answer 1

对任意X属于R，不等式[(x²+1)cosθ -x(cosθ -5)+3]/(x²-x+1)>sinθ -1恒成立，求θ 的取值范围。
解：由于x²-x+1=(x-1/2)²-1/4+1=(x-1/2)²+3/4≧3/4>0，故可去分母得同解不等式：
(x²+1)cosθ-x(cosθ-5)+3>(sinθ-1)(x²-x+1)
x²cosθ+cosθ-xcosθ+5x+3>x²sinθ-x²-xsinθ+x+sinθ-1
(sinθ-cosθ)x²-(sinθ-cosθ)x+(sinθ-cosθ)<x²+4x+4
(sinθ-cosθ)(x²-x+1)<x²+4x+4
sinθ-cosθ<(x²+4x+4)/(x²-x+1)=1+(5x+3)/(x²-x+1)
(√2)sin(θ-π/4)<1+(5x+3)/(x²-x+1)................(1)
令u=(5x+3)/(x²-x+1)，ux²-ux+u=5x+3，ux²-(u+5)x+u-3=0，
∵x∈R，∴其判别式Δ=(u+5)²-4u(u-3)=-3u²+22u+25≧0，即有3u²-22u-25=(3u-25)(u+1)≦0
故-1≦u≦25/3，0≦1+u≦28/3，即0≦1+(5x+3)/(x²-x+1)≦28/3
故要使不等式(1)对任何x恒成立，必须(√2)sin(θ-π/4)<0，即sin(θ-π/4)<0，
故有-π+2kπ<θ-π/4<2kπ，(k∈Z)，于是得-3π/4+2kπ<θ<π/4+2kπ，(k∈Z).

Answer 2

这题难倒不难，不过够复杂的
不等式左边分母恒大于0，乘到右边去，然后把右边移项到左边合并同类项，
可得(cosθ-sinθ+1)x^2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4>0
设cosθ-sinθ=t，即为(t+1)x^2-(t-4)x+t+4>0
要保证不等式左边恒大于0，两个条件：1、抛物线开口向上 2、抛物线与x轴无交点
可得t+1>0且△=(t-4)^2-4(t+1)(t+4)= -3t^2-28t<0,两式联立求得t>0
所以，t>0即cosθ-sinθ>0即为所求
θ取值范围 2kπ-3/4π<θ<2kπ+1/4π (k∈Z)
天哪！这点东西半小时才打完！毕业好多年了，做的不一定对，仅供参考！