Question

已知f(x)= x/x^2+1是定义在R上的函数,

写出f(x)的单调区间，并判断f(x)有无最大值或最小值，若有请写出。

Answer 1

f(x)=x/(x^2+1)
f'(x)=[(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2
令f'(x)＞0得-1＜x＜1
令f'(x)＜0得x＜-1或x＞1
故f(x)的单调增区间是(-1,1)，单调减区间是(-∞,-1)、(1,+∞)

x趋于无穷时函数值趋于0
所以可以大概的画出函数的图像来

那么函数有最大值与最小值
最大值在x=1处取得，为1/2
最小值在x=-1处取得，为-1/2

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

Answer 2

如果你没有学导数的话，可以这样做：
当x=0时，f(0)=0;
当x≠0时，f(x)=x/(x^2+1)=1/(x+1/x),
y=x+1/x为对号函数，你应该知道它的图像；
y=x+1/x的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，递减区间[-1，0）和（0,1];
所以函数f(x)= x/（x^2+1）单调递增区间为[-1,1]，递减区间(-∞,-1)和(1,+∞)，
当x>0,y=x+1/x≥2，则f(x)max= x/（x^2+1）≤1/2；
当x<0,y=x+1/x≤-2，则f(x)min= x/（x^2+1）≥-1/2.