Question

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1

若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值
我看之前有人答的感觉有问题。

Answer 1

∵2｛sin［（A＋B）/2］｝^2＋cos2C＝1，　∴2［cos（C/2）］^2＋2（cosC）^2－1＝1，
∴1＋cosC＋2（cosC）^2－1＝1，　∴2（cosC）^2＋cosC－1＝0，
∴（2cosC－1）（cosC＋1）＝0。
显然，在△ABC中，cosC＞－1，　∴cosC＋1＞0，　∴只有cosC＝1/2，　∴sinC＝√3/2。

又a^2＝b^2＋（1/2）c^2，结合正弦定理，容易得到：
（sinA）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（sinC）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（√3/2）^2，
∴－2（sinA）^2＝－2（sinB）^2－3/4，　∴1－2（sinA）^2＝1－2（sinB）^2－3/4，
∴cos2A＝cos2B－3/4，　∴cos2A－cos2B＝－3/4，
∴2sin（A＋B）sin（B－A）＝－3/4，　∴sinCsin（A－B）＝3/8，
∴（√3/2）sin（A－B）＝3/8，　∴sin（A－B）＝√3/4。

追问

为什么有这样一步：∵2｛sin［（A＋B）/2］｝^2＋cos2C＝1，　∴2［cos（C/2）］^2＋2（cosC）^2－1＝1
我只能推得1-2｛sin［（A＋B）/2］｝^2=cos(A+B)= -cosC
麻烦详解一下。

追答

∵A＋B＋C＝180°，∴A＋B＝180°－C，∴（A＋B）/2＝90°－C/2，
∴sin［（A＋B）/2］＝sin（90°－C/2）＝cos（C/2）。
又cos2C＝2（cosC）^2－1。
∴由2｛sin［（A＋B）/2］｝^2＋cos2C＝1，得：
2［cos（C/2）］^2＋2（cosC）^2－1＝1。

Answer 2

先化简2sin^2[(A+B)/2]=2sin^2（90-C）=2COS^2C
cos2C=2COS^2C-1
因为2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1所以2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
因为a^2=b^2+1/2c^2由余弦定理得b^2+1/2c^2=b^2+c^2-2bcCOSA所以c=4bCOSA
由正弦定理c/sinC=b/sinB所以c/b=sinB/sinC=4COSA
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB因为COS^2C=1所以C=90
所以A,B互余可有sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=0

追问

2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
这不是显然有问题吗？