Question

f(x)在[a,b]可积，积分上限函数Φ(x)连续,为什么，怎么证明？

Answer 1

f(x)在[a,b]可积，则f(x)在[a,b]有界。即存在正数M, |f(x)|<=M

0 <= |Φ(x+Δx) - Φ(x)|
= |∫ [a,x+Δx] f(t) dt - ∫ [a,x] f(t) dt|
=|∫ [x,x+Δx] f(t) dt|
<=∫ [x,x+Δx] |f(t)| dt
<=∫ [x,x+Δx] M dt = MΔx

这就能说明 Φ(x) 连续

Answer 2

假设Φ(x)不连续，那么存在一个间断点m
分别讨论m为第一二类间断点的情况
根据定积分的定义式
都可以推出
f(x)在一个测度为0的区间上的定积分不为0
由此得证

Answer 3

f(x) 连续？

追问

f(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上肯定连续的.....

追答

f(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上不一定连续

追问

为什么呢？不连续怎么可积呢？

追答

分段函数 f(x) = x^2+1, x>0 ; f(0)=0; f(x) = -x-1, x<0

追问

随便列一段区间[-1，1]f(x)就不可积呀，像类似[1,2]，[-2,-1]这样的区间还是可积的...

追答

如果 f(x) 连续，f(x) 有界。
利用积分中值定理：
当 Δx ->0 时，
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫ [a,x+Δx] f(t) dt - ∫ [a,x] f(t) dt = ∫ [x,x+Δx] f(t) dt = f(ξ) * Δx ->0
即证。
另外，分段函数 f(x) = x^2+1, x>0 ; f(0)=0; f(x) = -x-1, x<0 在区间[-1，1]f可积。