已知实数a,b,c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证1<a+b<4/3

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2011-09-03 · TA获得超过1.4万个赞
知道小有建树答主
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解: a>b>c,且 a+b+c=1,
有 (a+b+c)^2 = 1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
1+2ab+2bc+2ac=1
ab+bc+ac=0
而a,b,c不可能同号,因为同号时不可能=0
所以至少有一个数小于0,再由于a>b>c
所以c<0
所以a+b=1-c>1 …………(1)
由a^2+b^2+c^2=1可得:
(a+b)^2 - 2ab+c^2=1
(1-c)^2 - 2ab+c^2=1
2ab=2c^2-2c
ab=c^2-2c
所以有a+b=1-c , ab=c^2-2c
所以方程x^2 + (c-1)x + c^2-2c =0 的两个根为a和b
所以判别式大于0
即 c^2-2c+1-4c^2+8c > 0
解得 -1/3 < c < 1
所以a+b=1-c<4/3 …………(2)
综合(1)、(2)式子得:1<a+b<4/3。
fnxnmn
2011-09-03 · TA获得超过5.8万个赞
知道大有可为答主
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根据基本不等式有:2(a^2+b^2)>(a+b)^2

c=1-(a+b)
2(a^2+b^2)=2-2c^2=2-2[1-(a+b)]^2>(a+b)^2
设a+b=t
2-2(1-t)^2>t^2
3t^2-4t<0
得0<t<4/3

下面考虑t>1
若c>0,则1>a>b>c>0
a^2+b^2+c^2<a+b+c=1矛盾,所以c<0
a+b=1-c>1
综上1<a+b<4/3
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